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小學(xué)趣味數(shù)學(xué)教案歸納法之公雞的智慧

時(shí)間:2021-06-11 12:42:11 教案 我要投稿

小學(xué)趣味數(shù)學(xué)教案歸納法之公雞的智慧

  一只公雞,看見(jiàn)主人走過(guò)來(lái)撒米給它吃,非常高興。它希望每天都能吃到米。第二天,主人給它吃米,第三天,主人給它吃米,……第九十九天,主人給它吃米。于是,公雞認(rèn)為:主人永遠(yuǎn)給它吃米。第一百天,公雞看見(jiàn)主人走過(guò)來(lái),以為又有米吃了,可是主人把它捉住殺了。

小學(xué)趣味數(shù)學(xué)教案歸納法之公雞的智慧

  公雞用歸納法得出每天都有米吃的結(jié)論,顯然是不完全的。公雞的智慧有限,無(wú)法達(dá)到這樣的認(rèn)識(shí)。

  在數(shù)學(xué)里,也常用不完全的歸納法來(lái)發(fā)現(xiàn)規(guī)律。不過(guò),前面已經(jīng)說(shuō)過(guò),這樣得到的結(jié)論,都必須給出嚴(yán)格的證明才能成立。

  與自然數(shù)n有關(guān)的結(jié)論,常常采用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明。數(shù)學(xué)歸納法又叫做完全歸納法,在不會(huì)混淆的時(shí)候,可以簡(jiǎn)稱為歸納法。它分為兩個(gè)部分:

  一、首先考慮最簡(jiǎn)單的情況,通常是證明n=1時(shí)結(jié)論成立。這一步稱為奠基。

  二、其次考慮能不能從前一步推出下面一步。也就是證明:要是結(jié)論在n-1時(shí)成立,那么結(jié)論在 n時(shí)也成立。這一步稱為歸納。

  要是這兩部分都完成了,那就可由n=1時(shí)結(jié)論成立,推出在n=2時(shí)結(jié)論成立;由n=2時(shí)結(jié)論成立,又推出n=3時(shí)結(jié)論成立。這樣逐步推下去,可以得出結(jié)論對(duì)于一切自然數(shù)都成立。

  數(shù)學(xué)歸納法的思想在前面已經(jīng)多次用到過(guò)。例如在第三節(jié),我們實(shí)際上證明了:按照所說(shuō)的規(guī)則,2n(n≥4)根火柴可以兩兩合并起來(lái)。當(dāng)時(shí)的做法,是先從最簡(jiǎn)單的'情況做起,把八根火柴(n=4)兩兩合并起來(lái)。這就是奠基。

  然后,對(duì)十四根火柴,我們?cè)阉鼩w結(jié)為十二根火柴的問(wèn)題;十二根又歸結(jié)為十根;十根又歸結(jié)為八根。這樣一步步退到八,也就是由八一步步進(jìn)到十四。同樣,也可以進(jìn)到四十,或者更一般地進(jìn)到2n。其中的關(guān)鍵,是把左起第四根火柴與第一根火柴合并。這樣,2n根火柴的問(wèn)題,就化為2(n-1)根火柴的問(wèn)題了。只要2(n-1)根火柴能夠兩兩合并起來(lái),那2n根火柴也就能兩兩合并起來(lái)。這就是第二部分:歸納。

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