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y=arctanx的導(dǎo)數(shù)是什么?

回答
瑞文問答

2024-09-21

arctanx的導(dǎo)數(shù):y=arctanx,x=tany,dx/dy=secy=tany+1,dy/dx=1/(dx/dy)=1/(tany+1)=1/(1+x)。

擴展資料

  反函數(shù)求導(dǎo)法則

  如果函數(shù)x=f(y)x=f(y)在區(qū)間IyIy內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且f′(y)≠0f′(y)≠0,那么它的反函數(shù)y=f1(x)y=f1(x)在區(qū)間Ix={x|x=f(y),y∈Iy}Ix={x|x=f(y),y∈Iy}內(nèi)也可導(dǎo),且

  [f1(x)]′=1f′(y)或dydx=1dxdy

  [f1(x)]′=1f′(y)或dydx=1dxdy

  這個結(jié)論可以簡單表達為:反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。

  例:設(shè)x=siny,y∈[π2,π2]x=siny,y∈[π2,π2]為直接導(dǎo)數(shù),則y=arcsinxy=arcsinx是它的反函數(shù),求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

  解:函數(shù)x=sinyx=siny在區(qū)間內(nèi)單調(diào)可導(dǎo),f′(y)=cosy≠0f′(y)=cosy≠0

  因此,由公式得

  (arcsinx)′=1(siny)′

  (arcsinx)′=1(siny)′

  =1cosy=11sin2y√=11x2√

  =1cosy=11sin2y=11x2

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