根號5是無理數(shù)嗎

回答

瑞文問答

2024-09-17

根號5是無理數(shù)，常用的有2種方法來計(jì)算：（1）級數(shù)法。利用根號下(1+x)的泰勒展開式。（2）迭代算法。利用迭代公式：x0=a/2，x(n+1)=(xn+a/xn)/2。

擴(kuò)展資料

　　證明過程

　　1、設(shè)根號下5不是無理數(shù)而是有理數(shù)，則設(shè)根號下5=p/q(p，q是正整數(shù)，且互為質(zhì)數(shù)，即最大公約數(shù)是1)。

　　2、兩邊平方，5=p^2/q^2, p^2=5q^2(*)。

　　3、p^2含有因數(shù)5，設(shè)p=5m，代入(*)，25m^2=5q^2, q^2=5m^2，q^2含有因數(shù)5，即q有因數(shù)5。

　　4、這樣p,q有公因數(shù)5，這與假設(shè)p,q最大公約數(shù)為1矛盾。

　　5、根號下5=p/q(p，q是正整數(shù)，且互為質(zhì)數(shù)，即最大公約數(shù)是1)不成立，

　　所以，根號下5不是有理數(shù)而是無理數(shù)。